KARTEZYEN ÇARPIM, KARTEZYEN BAĞINTI, KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ, KARTEZYEN BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR

KARTEZYEN ÇARPIM, KARTEZYEN BAĞINTI, KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ, KARTEZYEN BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ (1) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Kartezyen çarpım :

İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir.

Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise

AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.

BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} şeklinde yazılır.

Örnekte görüldüğü gibi

( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ).

Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6 ‘dır. Böyle olması tesadüf değildir.

Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.

Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ).

( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur )

s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )

BAĞINTI

Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eğer bağıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o bağıntıya A’dan B’ye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır.

“n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2ⁿ olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2^s(A)s(B) ‘ dir.

Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2²⁰ olur. Tabii ki aynı şekilde B’den A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2²⁰ ‘dir.

Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir bağıntı tanımlayalım :

 ={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi şöyle olur :

 : A  B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım kümesi A,

değer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir.

NOT :  : A  B ( A’dan B’ye bir bağıntıdır diye okunur)

C =  (A) = { (1), (2), (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir.

Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A’ dan A’ya yazılabilecek bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ?

Çözüm : s(AxA) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı

           olur.

Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan

 ={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)} bağıntısını grafik ile gösteriniz :

Çözüm :

Bağıntıların özellikleri :

1.       Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.

2.       Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.

3.       Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.

4.       Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa geçişkendir.

Bağıntı çeşitleri :

1.       Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik bağıntısı denir.

2.       Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya sıralama bağıntısı denir.

Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,

(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediğinden ters simetrik,

(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.

Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır.

Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,

(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiğinden simetrik,

(2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.

Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır.

Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan

 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.

Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama bağıntısıdır.

Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.

Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan  bilgiyelpazesi.net

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

(3,3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ;

(1,3) ikilisinin tersi olmadığı için simetrik değil ;

aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiği için ters simetrik değil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadığından dolayı da geçişken değildir.

Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.

Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan

 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :

Çözüm :

(3,3) ve (4,4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ;fakat simetrik ve geçişkendir.

 : A ® A ve s(A) = n olmak üzere

Tanımlanabilen bağıntı sayısı ;

Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı   ;

Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı ‘ dir.