KARMAŞIK SAYILARIN KÖKLERİ, KOMPLEKS SAYILAR, ÖZELLİKLERİ KONU ANLATIMI

KARMAŞIK SAYILARIN KÖKLERİ, KOMPLEKS SAYILAR, ÖZELLİKLERİ

n bir pozitif tamsayı, W ve z birer kompleks sayı olmak şartıyla; Wn = z şartını sağlayan W sayılarına z’nin n’inci kuvvetten kökleri denir.

Standart biçimde verilen karmaşık sayı önce kutupsal biçimde yazılır ve açısına mutlaka 2kII ibaresi eklenir. Daha sonra kökleri alınır.

k = 0, 1, 2,... ,( n – 1 )

Burada k’ ya verilebilecek her tamsayı değeri için bir kök ortaya çıkar. Ancak bu köklerin n tanesi birbirinden farklıdır. Farklı olan bu değerler

z1 , z2 , z3 ,....,  zn-1  sayılarına karşılık gelir.

Soru

değerleri nelerdir?

Çözüm

k = 0 için

k = 1 için

Karmaşık Sayının Karekökü

k eleman Z olmak üzere

karmaşık sayısının bir karekökü

k’nın 0 ve ve 1’den farklı tamsayı değerleri için k’nın  aldığı değerler, birim çemberde

eşlendiği noktalardan birine eşlenir.

Bu nedenle z sayısının 2 tane karekökü vardır. z’ nin karekökleri w1 ve w2 ise

Soru

Sayısının karekökünü bulunuz.

Çözüm

Karmaşık Sayının Küp kökü

karmaşık sayının küp kökü

Bu formülden, k’nin  0, 1, 2 değerleri için üç farklı değer bulunur.

Buna göre modülü |z| ve argümenti  olan z karmaşık sayısının küp kökleri:

Soru

8 sayısının küp köklerini bulunuz.

Çözüm

olduğundan bu sayının küp kökleri

Soru

Z = 4 – 3i sayısının kareköklerinden birisi aşağıdakilerden hangisidir?

Çözüm

Soru

Z= 5 – 7i karmaşık karekökleri çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

a) 5+7i                          b) –5-7i                 c) –7i                     d)25                       e) -5 + 7i 

Çözüm