KONİ, KONİNİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR

KONİ, KONİNİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR 

Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.

Taban alanı =

olduğundan

bulunur.  Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.

Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.

Burada;

Taban yarıçapı |OB| = r

Cisim yüksekliği |PO| = h olur.

|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.

POB dik üçgeninde,

h² + r² = l² bağıntısı vardır.

Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,

Yanal alan= pr2+prl

Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.

Tüm alan = šr2 + šrl

 Daire diliminin merkez açısına a dersek

oranı elde ederiz.

 Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir. 

·                              Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.

[O1B] // [O2D] olduğundan benzerliği vardır. Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir. Alanları oranı benzerlik oranının karesi olduğundan, alanlar oranı olur. Hacimler oranı ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek

İŞLEM, İŞLEM ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR 

A. TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A  B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

İşlemler; + , – , : , x, , , , gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A kümesinde ve  işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özeliği

a, b  A için a b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi işlemine göre kapalıdır. (: Her)

2. Değişme Özeliği

a, b  A için, a b = b a ise, işleminin değişme özeliği vardır.

3. Birleşme Özeliği

a, b, c  A için a (b c) = (a b) c ise, işleminin birleşme özeliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

 x  A için, x e = e x = x ise, e ye işleminin etkisiz elemanı denir.

e  A ise, işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özeliği

işleminin etkisiz elemanı e olsun.

 a  A için, a b = b a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a^–1 biçiminde gösterilir.

b  A ise, işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.

•  Birim elemanın tersi kendisine eşittir. •  Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

6. Dağılma Özeliği

 a, b, c  A için,

           a  (b c) = (a  b) (a  c) ise,

 işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.

           (a b)  c = (a  c) (b  c) ise,

 işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.

 işleminin işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özeliği varsa  işleminin işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.

7. Yutan Eleman Özeliği

 x  A için, x y = y x = y olacak biçimde bir y varsa y ye işleminin yutan elemanı denir.

y  A ise, işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.

Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde  işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

  b c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b c nin sonucudur. Buna göre, b c = a dır.

  Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi işlemine göre kapalıdır.

  Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, işleminin değişme özeliği vardır.

  Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır.

  Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

D. MATEMATİK SİSTEMLER

1. Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere,  işlemi A da tanımlı olsun.

(A, ) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup

A  olmak üzere, A kümesinde tanımlı  işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi  işlemine göre bir gruptur.

 I) A,  işlemine göre kapalıdır.

 II) A üzerinde  işleminin birleşme özeliği vardır.

III) A üzerinde  işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

IV) A üzerinde  işlemine göre her elemanın tersi vardır.

A üzerinde tanımlı  işleminin değişme özeliği de varsa (A, ) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka

A  olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı  ve  işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, , ) sistemi bir halkadır.

 I) (A, ) sistemi değişmeli gruptur.

 II) A kümesi  işlemine göre kapalıdır.

III)  işleminin  işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır.

 

  işleminin değişme özeliği de varsa (A, , ) sistemi değişmeli halkadır.

  işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, , ) sistemine birim halka denir.

İŞLEM ÖNCELİĞİ, İŞLEM SIRASI, ÖZELLİKLERİ

İŞLEM ÖNCELİĞİ, İŞLEM SIRASI, ÖZELLİKLERİ

Tüm sayı kümelerinde dört işlem yapılırken şu sıra takip edilir.

1) Parantez var ise önce parantez içindeki işlemler yapılır.

2) Çarpma ve bölme işlemi yapılır.

3) Toplama ve çıkarma işlemi yapılır.

Örnekler

1. 3 + (12-8:4):5 = ?

Çözüm

3 +   dir.

2. 18 : 6-[2 (5-2)+ 12: 4]+ 1 =?

Çözüm

3 - [ 2.3 + 3 ] + 1 = 3 - (9) + 1 = -5   dir.

Eğer birden fazla çarpma veya bölme yan yana ise mutlaka önceliği olan işlem parantez ile belirtilmelidir.

Örnek

24 : 6 . 2 -> anlamsız (24 : 6). 2 veya 24 : (6 . 2) şeklinde ise çözüm yapılır.

KARE, KARENİN ALANI, KARENİN ÖZELLİKLERİ KONU ANLATIMI VE FORMÜLLER

KARE, KARENİN ALANI, KARENİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR 

KARE

Kenar uzunlukları eş olan bir dikdörtgen veya açı ölçüleri eş olan bir eşkenar dörtgendir.(Şek.25)

*Tanımdan da anlaşılacağı üzere dikdörtgen ile eşkenar dörtgenin bütün özelliklerini taşır.

         [AC]=[BD] =e = a      A(ABCD) = a² = 

*Karenin köşegen uzunlukları eşittir.

*Köşegenler birbirlerini dik olarak ortalarlar.

*Köşegenler açıortaydır. Bir karenin kenarlarının orta noktaları yine bir karenin köşeleridir. Bu karenin alanı ilk karenin alanının yarısıdır. (Şek.26)

 1. Kare

Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 90° olan dörtgene kare denir.

2. Karenin Alanı

Bir kenarı a olan karenin alanı A(ABCD) = a2

3. Karenin Özellikleri

a. Karenin köşegenleri birbirini dik ortalar. Köşegenlerin kenarlarla yaptığı açılar 45° dir.

b. Bir kenarı a olan karenin köşegeni |AC| = |BD| = aÖ2