KARMAŞIK SAYILAR, KOMPLEKS SAYILAR, KARMAŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ KONU ANLATIMI

KARMAŞIK SAYILAR, KOMPLEKS SAYILAR, KARMAŞIK SAYILARIN ÖZELLİKLERİ 

GİRİŞ

Karmaşık sayılar alternatif akım devrelerinin çözümünde çok kullanılırlar. Bu sayıların alternatif akım devrelerce kullanılması ile vektörel işlemler cebirsel işlem halin dönüşür.

Bu bölümde karmaşık sayılar tanıtılacak ve çeşitli işlemlerin nasıl yapılacağı gösterilecektir. Vektörleri bilinen karmaşık büyüklükleri cebirsel veya skaler büklüklerden ayırmak için sembol harfi üzerinde bir vektör işareti, ya bir çizgi yada bir nokta kullanılır. Örneğin bir A karmaşık sayısı,

veya   veya    veya A şeklinde gösterilir

A-SAYILARIN TANIMI

1-Gerçel sayılar

Gerçel (reel) sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayılardan meydana gelir. Yatay eksen üzerinde alınan gerçel sayılar ekseninin her noktasında bir gerçel sayı vardır.(Şekil 7-1). 1; 2; 3,5; ;-3; -27 gibi sayılar gerçel sayılardır.

Şekil 7 -1 Gerçel sayılar ekseni

2-Sanal sayılar

Negatif gerçel sayıların kökleri sanal (imajiner , hayali) sayılardır.   Örneğin     ;     ;   ;   gibi. Eğer     değerini “j” sembolü ile gösterirsek, yani, J= 

Dersek ,  =j2 ;   =j      ;   =j5 olur. Şu halde sanal sayılar J sembolü ile birlikte bulunurlar. Sanal sayılar düşey eksen üzerinde gösterilir. ( (Şekil 7-2).

Şekil 7 -2: Sanal sayılar ekseni

Matematikte “i” ile gösterilen sanal sayılar, elektrikte akım ile karışmaması için “j” ile gösterilir. “j” nin kuvvetlerinin aşağıdaki gibi olacağını kolaylıkla çıkarabiliriz.

B- KARMAŞIK SAYILAR

Karmaşık (kompleks) sayılar, gerçel ve sanal sayılardan oluşmuştur.Yani bir karmaşık sayının  içinde hem gerçel sayı ve hem de sanal sayı vardır.Karmaşık sayılara örnek olarak, 2+j3 ; 3-j4 ; -5+j2 ; -3-j3 sayılarını gösterebiliriz. Bu karmaşık sayılar, gerçel ve eksenin birlikte bulunduğu Şekil 7 -3 de gösterilmiştir.

Sanal sayılar ekseni

Şekil 7-3 Karmaşık sayılar

Bir sayının başlangıç noktası ile birleşmesiyle o sayı temsil ettiği vektör elde edilir. Şekil 7-4 de A gerçel sayısının, B sayısının ve C ile D karmaşık sayısının temsil ettikleri vektörler gösterilmiştir. A gerçel sayısının, sanal kısmı olmayan bir  karmaşık sayı gibi düşünebiliriz. Aynı şekilde B sanal sayısını da gerçel kısmı olmayan bir karmaşık sayı olarak düşünebiliriz. A,B,C ve D karmaşık sayılarına A,B,C,D vektörleri de denir.

Sanal sayılar ekseni

Şekil 7 –4 : Sayılar temsil ettikleri vektörler

KARMAŞIK SAYILARIN GÖSTERİLİŞ ŞEKİLLERİ

Karmaşık sayılar veya vektörler üç şekilde gösterilir. Bular aşağıda incelenmiştir.

1-    Dik bileşenler şeklinde gösterilişi:

Bu gösteriliş şeklinde karmaşık sayı veya vektör yatay ve düşey eksen üzerindeki izdüşümleri ile gösterilir. Bu izdüşümleri vektörün birbirine dik olan birleşenidir.

Şekil 7-5 Bir vektörün dik bileşenler şeklinde gösterilmesi

Şekil 7-5 deki A vektörünün yatay eksen üzerindeki bileşeni a ve düşey eksen üzerindeki bileşeni b olduğuna göre A vektörü,

A=a+jb

Şeklinde gösterilir. a bileşeni gerçel sayılar ekseni üzerinde olduğundan gerçel bir sayıdır. b bileşeni ise sanal ekseni üzerinde bulunduğundan, sanal bir sayıdır. Bunun için b bileşeni j ile birlikte gösterilir.

Şekil 7 –4 deki vektörlerde dik bileşenler şeklinde gösterilmiştir

Dik bileşeninden vektörün büklüğünü(mutlak değerini) ve yatayla yaptığı açıyı bulabiliriz. Şekil 7 –5 deki A vektörün büyüklüğü,

A  =a

veya yatay yaptığı açı ise

=tan dır. Burada  tan, tanjantı a/b olan açı anlamındadır.

Tan  =arctyan olaraktan ifade edilir.

Diğer taraftan Cos  =(a/A) ve sin   =(b/A) olduğundan, a ve b birleşeni için,

a=A. cos

b=A. sin yazılır.

Bu ifadeler, Formül 7 –1 de yerine yazılırsa, A vektörü için,

A=a+jb=A. Cos   +j. A. Sin veya A=A(Cos   +j sin)

Elde edilir. Burada A, vektörün büyüklüğü ya da vektörün yatay yaptığı açıdır.

2 – Kutupsal gösteriş

Bu gösteriş şeklinde vektör, büyüklüğü ve pozitif yatay eksenle yaptığı açı ile gösterilir.  Şekil 7-6 da A vektörün büyüklüğü  (mutlak değeri ) A veya pozitif yatay eksenle yaptığı açı  -  olduğuna göre kutupsal gösterişi,

A=A/  dir.

Bu gösterişte A ve açı işareti içindeki “-“ birbiri ile çarpma şeklinde düşünülmelidir. Formül 7-6 sadece bir gösteriş şeklidir.

Şekil  7- 6: Bir vektörün kutupsa  şeklinde gösterilmesi

Şekil 7-7 de A, B, C, ve D vektörleri kutupsa şekilde gösterilmiştir. Bu vektörlerin açılarının pozitif yatay eksenden itibaren alındığına dikkat ediniz.

Şekil 7- 7

Bundan dolayı pozitif yatay eksene “başlangıç ekseni” denir. Ayrıca saat ibresi hareketinin ters yönünde oluşan açılar pozitif, saat ibresi hareketi yönünde oluşan açılarda negatif işareti gösterilir.

Vektörün yatay ve düşey eksenler üzerindeki bileşenleri (gerçel ve sanal bileşenleri) yine Formül 7-4 den bulunur.

3-Üstel gösteriliş:

Bu gösteriliş şeklinde yine vektörün büyüklüğü açısı belirtilir. Şekil 7-8 deki A vektörünün  üstel şeklinde gösterilişi,

A=A edir.

Burada e=2,718 olup, tabii (veya neper) logaritma tabanıdır.

Şekil  7-8:Bir vektörün üstel şeklinde gösterilmesi

Üstel gösteriliş şeklinin basitleştirilmiş hali kutupsal gösteriliştir. Bunun için biz karmaşık sayıların veya vektörlerin üstel gösteriliş şeklini kullanmayacağız.

C-“-1” VE “j” ÇARPANLARI

Şekil 7-9 daki A vektörü pozitif yatay eksen (başlangıç ekseni) üzerindedir. Eğer bu A vektörünü -1 ile çarparsak, -A elde edilir ki bu vektör negatif yatay eksen üzerindedir.

Şu halde -1 ile çarpılan vektörler 180  döndürülmüştür. Şimdi de A vektörünün j ile çarpalım. Vektör, jA olacaktır. Bu vektörde pozitif düşey eksen üzerinde bulunacağından, A vektörüne göre saat ibresi hareketini ters yönünde 90  döndürülmüştür. Eğer A vektörü –j ile çarpılırsa, -jA vektörü elde edilir ki bu vektörde negatif düşey eksen üzerindedir. Buradan da –j ile çarpılan bir vektörün saat ibresi hareketi yönünde 90  döndürüleceği anlaşılır.

Burada -1 ve j’nin bir yönlendirici olarak yaptıkları görevi gösterdik

D –KRMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

Dik bileşenler şeklinde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilir. A karmaşık sayısı ve bunun eşleniği olan A sayının sırsıyla,

A=a+ jb

A  =a+ jb dır.

A=2-j3 ise, eşleniği   A   =2+j3  dür. B=-4+j2 ise eşleniği   B   =-4-j2 dır.

Kutupsal şekilde gösterilen bir karmaşık sayının eşleniği ise, açının işareti değiştirilerek bulunur. A sayısı ve bunun eşleniği olan  A  sayısı sırasıyla,

A=A/

A  =A/ dır.

A =4/  ise, eşleniği A  =4/ dır. B=20 / ise, eşleniği B =20 /  dır.

E-DİK BİLEŞEN VE KUTUPSAL GÖSTERİLİŞLERİN BİRBİRİNE CEVRİLMESİ

Dik bileşenler bir vektör kutupsa şekille ve kutupsal şekildeki bir vektör de dik bileşenler şekline çevrilebilir. Dik bileşenler şeklindeki A=a+jb vektörünün, kutupsal A=A /    vektörüne çevrilmesi için A büyüklüğü ve      açının a ve b cinsinden bulunması gerekir. A büyüklüğü Formül 7-2 de ve yatayla yaptığı     açısında Formül 7-3 de verilmişti.

Buradan, A=a+jb= yazılır. Bu formül dik bileşenler şeklinin kutupsal şekle çevrilmesinde kullanılır.

Kutupsal şekildeki A=A /           vektörü,  dik bileşenler şeklindeki A=a+jb

Vektörüne çevirmek için,  a ve b  bileşenleri A ve    cinsinden bulunmalıdır. Formül 7-4 de a ve b bileşenleri A ve   cinsinden verilmiştir. Buradan;

A=A/yazılır. Bu formül kutupsal şeklin dik bileşenler şekline çevrilmesinde kullanılır.

Örnek 7-1: Z=3-j4 vektörünü kutupsal şekle çeviriniz.

Çözüm: formül 7-8 kullanarak, Z=3-j4= = 5/ bulunur. Burada negatif açıların tanjantının da negatif olacağı unutulmamalıdır.

Örnek 7-2: Y=20/ ve U=100/   vektörünün dik bileşenler şekline çeviriniz.

Çözüm: formül 7-9 kullanarak, Y=20/ =20.cos  +j20.sin =17,3+j10

ve

U=100/ =100.cos(-65 )+j100.sin(-65 ) =42,2-j90,6 bulunur. Burada negatif açıların kosinüslerin pozitif, sinüslerin ise negatif olduğu unutulmamalıdır.

F – KARMAŞIK SAYILARIN DÖRT İŞLEMİ

1-  Toplama Ve Çıkarma:

Toplama ve çıkarma işlemi yalnız dik bileşen şeklinde gösteriliş ile mümkündür. Kutupsal şekilde toplama ve çıkarma işlemi yapılmaz. Kutupsal şekil ancak dik bileşen şekline çevrilerek toplanabilir veya çıkarılabilir.

Dik bileşenle şeklindeki vektörlerin toplama işleminde, gerçel kısımlar kendi  aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. A=a+jb ve B=c-jd ise, bunların toplamı

A+B=(a+c)+j( b-d)

olur. Çıkarma işlemi de toplama işlemine benzer.  Yukarıdaki   A ve B vektörlerinin farkı,

A-B=(a+jb)-( c-jd)=(a-c)+j(b+d)

Örnek 7-3: A=2+j5 ve B=4-j2 vektörlerin toplamını bulunuz.

Çözüm: A+B=(2+j5)+(4-j2)=(2+4)+j(5-2) =6+j3 olur.

Şekil 7-10 da A ve B vektörleri ile bunların toplamları gösterilmiştir. A ve B vektörler paralel kenar yöntemi ile toplanınca yine  aynı toplamın bulunacağına dikkat ediniz.

şekil 7-10

Örnek 7-4: U-=50/  ve U-=30/  olduğuna göre U   yi bulunuz.

Çözüm: çıkarma işleminin yapıla bilmesi için önce her birini dik bileşen şekline çevirelim.

U =50/ =35,35+j35,35

U =30/ =15+j25,98

Şimdi çıkarma işlemi,

U -U =(35,35+j35,35)-(15+j25,98)

=35,35+j35,35-15-j25,98

=20,35+j9,37 olarak elde edilir.

2- Çarpma:

Dik bileşen şeklindeki gösterişe çarpma cebir kuralına göre yapılır.

A=a+jb ve B=c-jd İse A ile B nin  çarpımı

A.B=(a+jb).(c-jd)=ac-jad+jbc-j bd

Ve j=-1olduğunden,

A.B=(ac+bd)+j(bc-ad) olur.

Kutupsal gösterişte çarpma işlemi, büyüklüklerin çarpımı ve açıların toplamı ile gerçekleştirilir. A=A/ ve  B=B/ , ise A ile B nin çarpımı,

A.B=(A/ ).(B/ )=A.B/dır.

Örnek 7-5: I=2+j3 ve Z=4+j2 dır. I.Z yi bulunuz.

Çözüm: I.Z=(2+j3).(4+j2)=8+j4+j12+j 6

=2+j16

Örnek 7-6: U=100/ ve Y=3/  dır. U.Y yi bulunuz.

Çözüm: U.Y=(100/ ).(3/ )=100.3/=300/

3- Bölme:

Dik bileşen şeklindeki karmaşık sayıların bölünmesi işleminde payda gerçel duruma getirilmelidir. Bunun için paydanın eşleniği ile pay ve payda çarpılır. Bundan sonra bölme işlemi yapılır. A=a+jb ve B=c-jd ise A nın B ye bölümü,

Kutupsal şekildeki karmaşık sayıların bölme işlemi daha kolaydır. Büklükleri bölünür ve paydanın açısı, payın açısından çıkarılır.

A=A/ ve B=B/İse A nın B ye bölümü,

Örnek 7-7: U=36+j12 ve Z=8-j4 dür. U/Z i bulunuz.

Çözüm:

Örnek 7-8:K=240/  ve L=20/  dır. K/L değerini bulunuz.

Çözüm:

KARMAŞIK SAYILARIN ALTERNATİF AKIM DEVRELERİNE UYGULANMASI

Sinüsel alternatif büyüklükleri vektörle gösterilmiştir. Bunların işlemlerinde vektörel işlemlerin olduğunu biliyoruz. Karmaşık sayıların kullanılması ile vektörel işlemler, cebirsel işlemler şeklinde düşünülür.

Bundan dolayı karmaşık sayılar, alternatif akım devrelerinde büyük kolaylık sağlar. Doğru akım devrelerine uygulanan bütün kural ve kanunlar aynı şekilde alternatif akım devrelerine uygulanabilir.