HAYATIMIZ OKUL: BENZERLiK

BENZERLIK
1. Benzer Üçgenler
Karsilikli açilari es ve karsilikli kenarlari orantili olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;

orani yazilir

Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.

esitliginde verilen k sayisina, benzerlik orani yada benzerlik

katsayisi denir.

k = 1 olan benzer üçgenlerde karsilikli kenarlar esit oldugundan, bu üçgenlere es üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerligi yazilirken es açilarin siralanmasina dikkat edilir.

2. Açi - Açi Benzerlik Teoremi
Karsilikli ikiser açilari es olan üçgenler benzerdir.

sekilde verilen üçgenlerde

Ikiser açilari es oldugundan, üçüncü açilari da es olmak zorundadir. Dolayisiyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
m(C)=m(F)

3. Kenar - Açi - Kenar Benzerlik Teoremi
Iki üçgenin karsilikli ikiser kenari orantili ve bu kenarlarin olusturdugu karsilikli açilar es ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açilari es, bu açilarin kenarlari da orantili ise, bu iki üçgen benzerdir.
BAC açisinin kisa kenarinin EDF açisinin kisa kenarina orani, BAC açisinin uzun kenarinin EDF açisinin uzun kenarina oranina esittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
Iki üçgenin karsilikli bütün kenarlari orantili ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarlari orantili olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantili kenarlari gören açilar estir.
m(A) = m(D),
m(B) = m(E),
m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi

ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndes açilar es
olacagindan ADE ~ ABC dir.

Agirlik merkezinden çizilen paralel dogru kenarlari 1birime 2 birim oraninda böler. ABC üçgeninde G agirlik merkezi ve [KL] // [BC]

|AK|=2|KB|
|AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi

Paralel dogrular kendilerini kesen dogrulari ayni oranda
bölerler. d1 // d2 // d3 dogrulari için

Buradan

de elde edilir

[AB] // [DE] ise olusan içters açilarin esitliginden, ABC ~ EDC olur. Buradan,

esitligi elde edilir. Buna kelebek benzerligi de denir.

7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açilari karsilikli olarak es, diger bütün elemanlari orantilidir.


ABC ~ DEF Û

Burada k ya benzerlik orani denir.
a. Benzer üçgenlerde orantili kenarlara ait yüksekliklerin orani benzerlik oranina esittir.

b. Benzer üçgenlerde orantili kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarinin orani benzerlik oranina esittir.

c. Benzer üçgenlerde es açilara ait açiortay uzunluklarinin orani benzerlik oranina esittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin orani benzerlik oranina esittir.

e. ABC üçgeninde içteget çemberin yariçapi rABC ve çevrel çemberin yariçapi RABC , DEF üçgeninde içteget çemberin yariçapi rDEF ve çevrel çemberin yariçapi RDEF olsun.