SAYMA, SAYMA ÇEŞİTLERİ, SAYMA YÖNTEMLERİ, SAYMA ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLARI

SAYMA, SAYMA ÇEŞİTLERİ, SAYMA YÖNTEMLERİ, SAYMA ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLARI

1. Saymanın temel kuralları :

  Bir çokluğu saymak için üç yöntem uygulanır. Bunlar : Eşleme – toplama ve çarpma yöntemleridir.

  a) Eşleme Yöntemi :

  Saymak istediğimiz çokluğun elemanları ile 1 den başlayan doğal sayıları 1-1 eşlersiniz. En son eşlenen sayı o çokluğun sayısını verir. Örneğin bir grupta bulunan öğrencileri saymak eşleme yöntemi ile saymaktır.

  b) Toplam Yöntemi :

  Daha önce ayrı ayrı sayılan kümelerin eleman sayılarını toplayarak, bunların tümünden oluşan kümenin eleman sayısını bulma yöntemidir. Örneğin  cebimizdeki para çokluğunu bulmak için üzerilerinde yazılı miktarların toplamını alırsınız.

  c) Çarpma Yöntemi :

  Sayılması istenen çokluk ayrı ayrı gruplardan oluşuyorsa, her gruptaki çoklukların sayıları ile grup sayısının çarpımları alınır..Sayılması istenen miktar bulunmuş olur.

  Bu yöntemle çokluk sayısını bulmaya çarpma yöntemi denir.

 

  Örneğin yandaki dikdört-

  gende bulunan karelerin

  sayısını bulalım. Burada

  6 sütun ve her sütunda

  4 kare olduğundan kare sayısını bulmak için  bunlar çarpılır. 6 . 4 = 24 bulunur. Bu yolla kare sayısı bulma yöntemi çarpma kuralını kullanma yöntemidir.

  Bu yöntemle çözülebilen problemleri inceleyelim.

ÖRNEK :

  A  dan  B  ye  3

  değişik yol B den

  C ye iki değişik

  yol vardır.

  A dan (B den geçme koşulu ile) C ye kaç değişik yolla gidilebilir?

ÇÖZÜM :

  Yollar {(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)} olmak üzere 6 yol bulunur.

  Çarpma yöntemi ile daha çabuk 3 . 2=6 olarak bulunur.

ÖRNEK :

  KONYA kelimesindeki harflerle beş harfli anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?

ÇÖZÜM :

  Beş harfi yandaki

  1;                  Numaraya 5 değişik harf yazılabilir.

  2;                  Numaraya 4 değişik harf yazılabilir.

                        (Çünkü bir harf  1 numaraya yazılmıştır.)

  3;                  Numaraya 3 değişik harf yazılabilir.

  4;                  Numaraya 2 değişik harf yazılabilir.

  5;                        Numaraya ise 1 harf kalır. Yazıla-bilecek sözcük sayısı, çarpma yöntemi gereğince   5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 olarak bulunur.

ÖRNEK :

  İki  torbanın  birinde siyah ve diğerinde beyaz

  ve üzerlerinde 1,2,3,4,5 numaraları yazılı 5 er

  bilye vardır.

  Bu torbaların her birinden birer bilye çekilerek

  ikililer elde ediliyor. Bu ikililerin sayısı kaçtır ?

ÇÖZÜM :

  Çarpma yöntemi ile 5.5 = 25 ikili bulunur.

ÖRNEK :

  A = {1, 2, 3, 4, 5}   kümesinin  elemanlarını

  kullanarak 300 den büyük üç basamaklı kaç

  tane sayı yazabiliriz. (Bir  kez  kullandığınız

  rakamı bir daha kullanabilirsiniz)

ÇÖZÜM :

  Üç  basamaklı  sayının  yüzler  basamağına

  ancak  3, 4, 5 rakamlarından biri gelir. Diğer

  basamaklara ise 5 rakamdan biri getirilebilir.

 

  Çarpma yöntemi ile 3.5.5 = 75 sayı yazılabilir.

  ÖRNEK :

  A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile

  rakamlar  tekrarsız  ve  300  den  büyük üç

  basamaklı kaç sayı yazabilirsiniz. 

 

yüzler basamağına 3 değişik rakam onlar basamağına (yüzler basamağına bir rakam yazıldığı için) 4 değişik rakam ve birler basa-mağına da 3 değişik rakam yazılabilir. Çarpma yöntemi gereği bu değişik değerler çarpılır.

  Bu hesapları daha çabuk yapabilmek için (faktöriyel) hesapları kullanılır.

  Faktöriyel hesapları hatırlayalım.

  Tanım : 1, 2, 3, 4........n (1 den n e kadar doğal sayıların çarpımı n nin yanına bir ünlem işareti konularak gösterilir ve n faktöryel diye okunur.)

  1.2.3.4.5........n = n !

  tanıma uymayan 0 ! ve 1 ! gösterimleri kullanılabilir ve değerleri 1 dir. 0! = 1; 1! = 1 dir.

  Faktöryel hesapları

  1.            n!(n+1) = (n+1)!

  2.             = (n-1)!

  3.            r!(r+1)(r+2) ... n = n

  4.             = (r+1)(r+2)(r+3).n

  olduğunu hatırlayınız.

ÖRNEK :

   in sonucu kaçtır?

ÇÖZÜM :

   =  = 6.7 = 42 bulunur.     

ÖRNEK :

   = 7.8 = 56 bulunur.

ÖRNEK :

   = 72 ise n kaçtır?

ÇÖZÜM :

  = (n-1).n Þ n(n-1) = 72

  n² – n – 72 = 0 dır.

  Bu ise (n-9)(n+8) = 0;  n = 9 ve N = -8 bulunur. n = -8 olamaz (neden?) o halde n = 9 olmalıdır.

ÖRNEK:

   = 30 is n kaçtır?

ÇÖZÜM:

  tanımdan (n-2)! = (n-4)! (n-3)(n-2) dir. O halde  

  = (n-3)(n-2) olacağından

  (n-3)(n-2) = 30 Þ n² – 5n – 24 = 0

  (n-8)(n+3) = 0 Þ n = 8 , n = -3

  n = -3 olamaz (neden?) ; n = 8 bulunur.

ÖRNEK :

  7.  = 20 .  ise n kaçtır?

ÇÖZÜM :

 = (n-2)(n-1).n  ; = n.(n+1) o halde 7

n(n-1)(n-2) = 20n.(n+1) den

7(n²-3 n+2) = 20(n+1)

7n² – 41n – 6 = 0 denklemi bulunur.

(n = - olamaz.)

ÖRNEK :

  (n+!)[n.n! + (2n-1).(n-1)! + (n-1).(n-2)!]

  çarpımının sonucu nedir?

ÇÖZÜM:

  (n+1)[ n.n! + (2n-1).(n-1)! + (n-1).(n-2)!] =

  (n+1)[ n.n! + (n-1).(2n-1) . (n-1)!+(n-1)!] =

  (n+1) [(n-1)! . (n² + 2n – 1 + 1)]

  = (n+1) (n-1)! . n(n+2)

  = (n-1)! n.(n+1)(n+2) = (n+2)! bulunur.

ÖRNEK :

  + 3  +  sonucu nedir?

ÇÖZÜM :

  + 3  +  paydalarını n! olacak biçimde genişletip toplayalım.

   =

   =

  n(n² – 3n + 2 + 3n – 3 + 1) = n.n² = n³

    bulunur.