TABAN ARİTMETİĞİ, TABANDAN BAŞKA BİR TABANA ÇEVİRME, ÖZELLİKLERİ

TABAN ARİTMETİĞİ, TABANDAN BAŞKA BİR TABANA ÇEVİRME, ÖZELLİKLERİ 

1)  Herhangi Bir Tabandaki Sayıyı Onluk Tabana Çevirmek:

Herhangi bir tabandaki sayıyı 10'luk tabana çevirirken, sayı ait olduğu tabana göre çözümlenir.

Taban 1 'den büyük doğal sayıdır.

Örnek

(214) ₅ = 2.5² + 1.51 + 4.5° = 59 şeklinde çevrilir.

Örnek

(231) _a = 45 ise,   a kaçtır?

Çözüm

(231 ) _a = 45 -> 2. a² + 3.a + 1 =45

2 a² + 3a - 44 = 0

(2a+ 11) (a-4) = 0

a=    veya a = 4

2Taban 1 'den büyük doğal sayı olacağından

a = 4 tür.

Örnek

(4x5) ₆ = 167 ise x kaçtır?

Çözüm

4.6₆ + x.6 + 5.6° =167

144 + 6x + 5 = 167

6x =167-149

6x = 18 x = 3   olur.

2) Onluk Tabandan Başka Bir Tabana Çevirmek

Onluk tabandan başka bir tabana çevrilirken sayı o tabana bölünür. Eğer bölüm tabandan büyük ise bu işleme tabandan küçük olana kadar devam edilir. Sonra sırası ile en son bölümden itibaren sondan başa doğru kalan rakamlar yazılır.

Mesela,

103 sayısı 7 lik tabanda

Örnek

62 sayısının 4 lük tabandaki karşılığı nedir?

A) (302) ⁴        B) (313) ⁴        C) (332) ⁴

D) (301) ⁴        E) (303) ⁴

Çözüm

Örnek

41 sayısının ikilik tabandaki karşılığı nedir?

A) (101001) ₂      B) (101101) ₂    C) (101010) ₂

D) (101011) ₂    E) (101100) ₂

Çözüm

Örnek

2 ve 5 sayı tabanı olmak üzere,

(2a) ₅ = (1011) ₂ olduğuna göre a kaçtır? (1995/1)

A) O       B) 1        C) 2          D) 3          E) 4

Çözüm

(2a) ₅ =(1011) ₂ Þ a + 2.5¹ = 1 + 1.2¹ + 0.2²+1.2³

Þ a + 10 = 1+2 + B

Þ a + 10 = 11

Þ a = 1

Cevap : B'dir.

3) Aynı Tabandaki Sayılarda Dört İşlem:

Herhangi bir tabanda toplama, çıkarma ve çarpma 10'luk sisteme benzer şekilde yapılır. Bunları örneklerle gösterelim.

Örnek

(312) ₅ + (434) ₅ toplamı 5 tabanında neye eşittir?

Çözüm

Bu işlemi;

2 + 4 = 6 içinden bir 5 çıkartırsak kalan 1, elde de 1, sonra 5 ler basamağındaki 1+3 = 4 topladık elde 1 i ilave edersek 5 yine 5 çıkartırsak kalan 0, elde 1 olur.

Daha sonra 25 ler basamağındaki 3 + 4 = 7 topladık ve elde 1 i eklersek 8 olur. Yine 5 ten büyük olduğundan 5 çıkartırsak kalan 3 ve elde 1 kalır, işlem tamamlanır.

Örnek

(43) ₅ - (14) ₅ işleminin sonucu beş tabanında nedir?

Çözüm

3 den 4 çıkartılacağından beşler basamağındaki 4 sayısından 1 beşlik alınır ve 3 e eklenir.

5 + 3 = 8 ve    8-4 = 4 olur.

Beşler basamağından 3 kalmıştır. 3-1=2 olur. İşlem biter.

Örnek

2 sayı tabanını göstermek üzere,  (110) ₂-(11) ₂ farkı 2 tabanına göre kaçtır? (1 993/I)

A) 1010    B) 101      C) 11       D) 10       E) 1

Çözüm

0 dan 1 çıkartılacağından 2'ler basamağındaki 1 den 1 ikilik alınır.

2-1 = 1   ve  2'ler basamağında   O   kalır. Tekrar 2² basamağından bir ikilik alınır.

2-1=1 Cevap C'dir.

Örnek

(43) x (31 ) ₅ çarpma işleminin sonucu beş tabanında neye eşittir?

Çözüm

1.3 = 3 ve 1.4 = 4 yazılır.

3.3 = 9 ve 9-5 = 4 kalan 4 ve elde var 1

3.4 = 12 eldeki 1 ile 13 olur.

13'ün içinde 2 tane 5 olduğundan 13 - 2.5 = 3 kalan ve elde 2 olur.

Toplama daha önceki örnekteki gibi yapılır.

Örnek

(52) ₆ x (43) ₆ + (354) ₆ işleminin 6 tabanındaki eşiti nedir?

Çözüm

Önce çarpma işlemi yapılır. Çıkan sonuç ile (354) ₆ sayısı toplanır.

Bölme işlemi: Herhangi bir tabandaki sayı önce 10 luk tabana çevrilip sonra işlem yapılır. Daha sonra ise istenilen tabana çevrilerek sonuç bulunur. Bölme işleminde bu yöntemi kullanmak daha iyidir.

Çözümlü Sorular

1. a, b , c pozitif tamsayılardır, a.b = 4, a.c = 12 ise a + b + c toplamının en küçük değeri nedir?

A) 6     B) 8    C) 10        D) 12        E) 17

(1999/ÖSS)

Çözüm

a.b = 4 ve a.c = 12 olduğunda

a = 4, b = 1, c = 3 için a + b + c en küçük olur.

a+b+c=4+1+3=8

Cevap: B'dir.

2.  a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere,

ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

Çözüm

Her sayı 3 ile çarpılırsa 3a, 3b, 3c olur. Bu ise,

 dir.

Cevap: D'dir.

3.  Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13 katından 7 fazladır. Buna göre BA sayısı kaçtır?

A) 19         B) 25      C) 27      D) 29      E) 32

(1999/ÖSS)

Çözüm

4AB = 13.(BA) + 7

400 + 10A + B = 13 (10B + A) + 7

400 + 10A + B = 130B + 13A + 7

393 = 129B + 3A olur.

Bu eşitlik A = 2, B = 3 için sağlanır.

O halde BA = 32 olur.

Cevap: E'dir.

4. Birbirinden farklı iki basamaklı pozitif dört tamsayının toplamı 326 dır. Bu sayılardan en büyüğü 98 olduğuna göre, en küçüğü en az kaçtır?

A) 36      B) 35        C) 33        D) 32        E) 30

(1998/ÖSS)

Çözüm

En küçük, en az olan sayıyı bulmak için diğer üç sayıyı en büyük seçmek gerekir.

En büyük sayı 98 ise diğer ikisi farklı olacağından 97 ve 96 olur. 98 + 97 + 96 = 291 toplamdan çıkarırsak 326 - 291 = 35 bulunur.

Cevap: B'dir.

5. a, b, c birer doğal sayı ve 2a = 3b, a + c = 2b ise

 işleminin sonucu kaçtır?

A) 2        B) 3       C) 4       D) 5       E) 6

(1997 / ÖSS)

Çözüm

Cevap : E ‘dir.

6. a, b e Z⁺ ve a +   = 12 olduğuna göre a'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 33      B) 29       C) 26        D) 20        E) 15

(1997/ÖSS)

Çözüm

a Î Z⁺ olması için b nin 8 in bölenleri olması gerekir.

b = 8 için a = 11

b = 4 için a = 10

b = 2 için a = 8

b = 1   için a = 4 dür.

a'nın alacağı değerler toplamı ise

11 +10 + 8 + 4 = 33 olur.

Cevap: A'dır.

7. a, b, c çift sayılar olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

(1997/ÖSS)

Çözüm

a, b, c çift (4) ise,

A)     tek veya çift olabilir

B)   tek veya çift olabilir

C)  kesinlikle çifttir.

D)   tek veya çift olabilir

E)   tek veya çift olabilir

Cevap: C'dir.

8.  Rakamları farklı üç basamaklı en büyük pozitif tamsayı ile rakamları farklı üç basamaklı üç basamaklı en küçük pozitif tamsayının farkı kaçtır?

A) 774     B) 855     C) 885     D) 895     E) 989

(1996/ÖSS) /

Çözüm

En büyük: 987

En küçük: 102

987-102 = 885

Cevap: C'dir.

9. x ve y birer  pozitif tamsayı olmak üzere,

x > 3 ve 2x + 3y = 96 ise y'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 29      B) 28       C) 26       D) 23        E) 22

(1995/ÖSS)

Çözüm

2x + 3y = 96. ise y = 32 -   olur.

3 x > 3 olduğundan x = 6 için

y = 32-   = 28 bulunur.

3 Cevap: B'dir.

10. a bir tamsayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?

A)a-1               B) a² + 1          C)a² + a

D) a² - 2a + 1      E) a³

(2001/ÖSS)

Çözüm

C seçeneğindeki a²,+ a = a.(a + 1) ardışık iki sayının çarpımı olduğundan kesinlikle çift sayıdır.

Cevap: C'dir.

11. a, b pozitif tamsayılar ve — + b = 8 olduğuna göre

4 a'nın alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 16       B) 20       C) 24       D) 28       E) 36

(1993/ÖSS)

Çözüm

+ b = 8 ise a = 4.(8-b) = 32 - 4b   olur.

b = 1  yazarsak a en büyük olur.

a = 32 - 4.1 = 28 dir.

Cevap: D'dir.

12. 10 ve m sayı tabanını göstermek üzere; (97) ₁₀ = (241) _m olduğuna göre m kaçtır?

A) 9         B) 8          C) 7          D) 6          E) 5

(1997/ÖSS)

Çözüm

(241) _m = 2.m² + 4.m + 1

2m² + 4m + 1 = 97

2m² + 4m = 96

m² + 2m = 48

m.(m+2) = 48

m = 6   olur.

Cevap: D'dir.

13. 4 sayı tabanını göstermek üzere;    (213) ₄ x (23) ₄ çarpma işleminin sonucu 4 tabanına göre kaçtır?

A) 13231    B) 13221          C)13213

D)12321        E) 12231

Çözüm

Cevap: E'dir.

14. 2 ve 5 sayı tabanını göstermek üzere; (2a) ₅ = (1011) ₂ olduğuna göre a kaçtır?

A) 0        B)1           C) 2          D) 3          E) 4

(1995/ÖSS)

Çözüm

(2a) ₅ = 2.5 + a = 10 + a

(1011) ₂ = 1.3³ + 0.2² + 1.2 + 1 = 11

10 + a = 11  ise a = 1  olur.

Cevap : B'dir.

15. 8⁴ doğal sayısı 4 tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir?

A) 4         B) 5          C) 6          0)7          E) 8

(2001/ÖSS)

Çözüm

8⁴ = (2³) ⁴ = 212 = (22)6 = 46 dır.

4⁶ = 1.4⁶ + 0.45 + 0.4⁴ + 0.4³ + 0.4² + 0.4¹ + O

= (1000000) ⁴

olduğundan 4⁶ sayısı 7 basamaklıdır.

Cevap: D'dir.

16. (12,12) ₅ sayısının 10 luk tabandaki eşiti aşağıda-kilerden hangisidir?

A) 7,42    B) 7,28  C) 6,32   D) 6,28    E) 5,42

Çözüm

Cevap: B şıkkıdır.