FONKSIYON nedir ve fonksiyonların özellikleri

FONKSIYON :
Eger baginti ; tanim kümesinin her elemanini deger kümesinin yalniz ve yalniz bir tek elemanina esliyorsa o bagintiya fonksiyon denir. Yani her baginti bir fonksiyon degil ama her fonksiyon ayni zamanda bir bagintidir. Tanimi daha da açarsak:
Bir bagintinin fonksiyon olabilmesi için :
1. Tanim kümesindeki her elemaninin kullanilmis olmasi ;
2. Tanim kümesindeki her elemaninin yalniz bir degerinin olmasi gerekmektedir.

	f(2)=1 ve f(2)=2 oldugundan yani 2 elemaninin 1?den fazla degeri oldugu için fonksiyon degildir.
	Tanim kümesinde açikta eleman kaldigi için fonksiyon degildir. f(2) = tanimsiz.
	Her iki sarti da sagladigi için fonksiyondur.

A?dan B?ye tanimlanan tüm fonksiyonlarin sayisi [s(B)]s(A) ile hesaplanir.
A?dan B?ye tanimlanan bir fonksiyon f : A ? B seklinde gösterilebilir.
x ? A ve y? B olmak üzere f : x ?  y , y = f(x) seklinde de ifade edilebilir.
Örnek 1: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduguna göre A?dan B?ye yazilabilecek tüm fonksiyonlarin sayisini bulun :
Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 oldugundan dolayi yazilabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.
Örnek 2: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduguna göre y = f(x) = x+2 seklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve sema yöntemiyle gösterin :
Çözüm : Verilen tanima göre önce görüntü kümesinin elemanlarini hesaplayalim :
f (1) = 3 ;   f(2) = 4 ; f(3) = 5 oldugundan
f (A) = {3,4,5} olur.
Venn semasi ile gösterimi ise söyledir :

Örnek 3: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduguna göre y = f(x) = x2+1 seklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim:
Çözüm :                             f(-1) = 2 ;
f (0) = 1 ;
f( 1) = 2 ;
f( 2) = 5 olduguna göre :
f(A) = {1,2,5} olur.
Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise söyledir :

Örnek 4 : Asagida grafigi verilen tamsayilarda tanimlanmis fonksiyonun tanim , görüntü ve deger kümelerini bulunuz :

Çözüm : Tanim kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayi elemanlardan , deger kümesi ise düsey eksen üzerindeki tamsayi elemanlardan olusur. Görüntü kümesinin elemanlarini bulmak için grafigi incelemek ve kapali egri tarafindan sinirlanan noktalara karsilik gelen düsey eksen degerlerini almak gerekir.
Tanim kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }
Deger kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }
Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }
Örnek 5 : Asagida grafigi verilen gerçek sayilarda tanimlanmis fonksiyonun tanim , görüntü ve deger kümelerini bulunuz :

Çözüm :    Tanim kümesi = [-1,7] ;
                    Deger kümesi = [-5,8] ;
Görüntü kümesi = [-5,8] .
Görüntü kümesi , deger kümesine esit veya onun alt kümesi olabilir.
Örnek 6 : Asagida gerçek sayilarda tanimlanmis olan baginti fonksiyon mudur ?

Çözüm : Tanim kümesi üzerindeki tüm degerlerin yalniz ve yalniz bir karsiligi var olduguna göre fonksiyon olmanin iki sartini da sagliyor.
Ayni soruya farkli bir yaklasim da y eksenine paralel çizilebilinen tüm dogrular düsünülür. Bunlarin herhangi bir tanesi dahi grafigi 1?den fazla veya 1?den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.
Bu grafikte çizilen tüm dogrular yalniz ve yalniz bir noktada kestigi için bir fonksiyondur.
Örnek 7: Asagida gerçek sayilarda tanimlanmis olan baginti fonksiyon mudur ?

Çözüm : Bu baginti , tanim kümesinin (-? ,-4) araligindaki degerlerinin görüntüsü olmadigi için fonksiyon degildir. Ayni zamanda [-4,? ) araligindaki degerlerinin de birden fazla görüntüsü oldugu için fonksiyon degildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmamasi için yeterlidir.
Diger yaklasim ile düsünüldügünde (-? ,-4) araliginda y eksenine paralel çizilen dogrular grafigi kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4,? ) araliginda y eksenine paralel çizilen dogrular grafigi iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.

FONKSIYON TÜRLERI :

1. Içine fonksiyon :
Eger fonksiyonun görüntü kümesi , deger kümesinin alt kümesi ( deger kümesinin bazi elemanlarinin tanim kümesinde karsiligi yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 8 :

2. Örten fonksiyon :
Eger fonksiyonun görüntü kümesi , deger kümesine esit ( deger kümesinin tüm elemanlarinin tanim kümesinde karsiligi var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 9 :


3. Bire-bir (1-1) fonksiyon :
Eger fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanin tanim kümesinde yalniz bir karsiligi varsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 10 :

4. Sabit fonksiyon :
Eger fonksiyonun tanim kümesindeki her elemanin görüntü kümesindeki karsiligi hep ayni eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 11 :

5. Birim fonksiyon :
Eger fonksiyonun tanim kümesindeki her elemanin görüntü kümesindeki karsiligi yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 12:

Örnek 13 : Birinci açiortay dogrusu ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : y = x dogrusu olan birinci açiortay dogrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.
Örnek 14: Asagidaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin (-? ,-4) arasindaki degerlerinin tanim kümesinde karsiligi olmadigi için içine fonksiyondur.
x eksenine paralel çizilen bazi dogrular grafigi kesmiyorsa içine fonksiyondur.
Örnek 15: Asagidaki f : R ? [-4,? ) ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Görüntü kümesinin tüm degerlerinin tanim kümesinde karsiligi oldugu için örten fonksiyondur.
Örnek 16: Asagidaki f : R ? R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanim kümesindeki her elemanin karsiligi yine kendisine esit oldugundan birim fonksiyondur. Ayni zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.
Örnek 17 : Asagidaki f : R ? R ne tür bir fonksiyondur ?

Çözüm : Tanim kümesindeki her elemanin karsiligi hep ayni oldugundan sabit fonksiyondur.
Örnek 18 : Asagidaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?

Çözüm : x eksenine paralel çizilen dogrular yalniz bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 degildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasina karsilik ikinci grafik 1-1 ? dir.
s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :

1. A?dan B?ye tanimlanan fonksiyon sayisi ba ;
2. A?dan B?ye tanimlanan sabit fonksiyon sayisi b ;
3. A?dan B?ye tanimlanan 1-1 fonksiyon sayisi P(b,a).

Örnek 19 : A?dan B?ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanimlanabilmektedir. Buna göre A?dan B?ye tanimlanabilen 1-1 fonksiyon sayisi kaç tanedir ?
Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduguna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayisi ise 64 = 43 oldugundan dolayi s(A) = 3?tür.
Buna göre 1-1 fonksiyon sayisi da
 olur.
Örnek 20 : A?dan A?ya 27 tane fonksiyon tanimlanabilmektedir. Buna göre A?dan A?ya kaç tane yansiyan baginti tanimlanabilir ?
Çözüm : 27 = 33 olduguna göre s(A) = 3 ? tür.
Yansiyan baginti sayisi ise 29-3 = 26 = 64 olur.
Örnek 21 : A?dan A?ya 221 tane simetrik baginti tanimlanabilmektedir. Buna göre A?dan A?ya kaç tane sabit fonksiyon tanimlanabilir ?
Çözüm : olduguna göre s(A) = 6 ? dir. Buna göre sabit fonksiyon sayisi 6 olur.
6. Permütasyon fonksiyonu :
Sonlu bir A kümesi üzerinde A?dan A?ya tanimlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.
Örnek 22 :

s(A) = a olmak üzere :
A?dan A?ye tanimlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayisi a ! ? dir.
Örnek 23 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanimlanabildigine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayisi kaç tanedir ?
Çözüm : 24 = 4! oldugundan s(A) =4 ? tür.
Dolayisiyla toplam fonksiyon sayisi 44 = 256 olur.
Bunlarin da 24 tanesi 1-1 ve örten oldugundan
geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten degildir.
Örnek 24 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanimlanabildigine göre A kümesi üzerinde tanimlanabilen bagintilarin kaç tanesi yansiyan degildir ?
Çözüm : 6 = 3! oldugundan s(A) = 3 ? tür.
Dolayisiyla toplam baginti sayisi 29 olup bunlarin 26 tanesi yansiyandir. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansiyan degildir.
Örnek 25 : Asagida grafigi verilen f : A ? B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalim .

Çözüm :        f (1) = 3 ;
                    f (2) = 1 ;
                    f (3) = 2         oldugundan f fonksiyonu
     seklinde yazilabilir.

7. Tek ve çift fonksiyonlar :
Tanimli olan tüm x degerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.
Diger bir deyisle
baslangiç noktasina (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;
y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.


Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
                    = -sinx -3x +x3
                    = -(sinx +3x -x3)
                    = -f(x)                  oldugundan tek fonksiyondur.


Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
                    = x2 + 4 -cosx
                   = f(x)         oldugundan çift fonksiyondur.


Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
                     = x2 - x3 -3     oldugundan ne tek ne de çift fonksiyondur.


Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
oldugundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.  
Diger bir deyisle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni
hem baslangiç noktasi hem de y eksenine göre simetriktir.


Örnek 30: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduguna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm : Çift fonksiyon oldugundan f(x) = f(-x) olur.
Dolayisiyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacagindan f(x) = x+2 olur.


8. Periyodik fonksiyonlar :
Eger bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak sekilde bir t gerçek sayisi bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.
Buradaki t sayisina da o fonksiyonun periyodu denir.
Diger bir deyisle periyodu t olan bir fonksiyonda
f(x+t) = f(x)  ==>   ( x+t ) - x = t          olur.
Örnek 31: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanimli iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ? tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalidir.
Dolayisi ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve
( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalidir
( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 )
buradan t = 5/2 bulunur.
f (x) fonksiyonunun periyodu t ise
f (ax+b) fonksiyonunun periyodu          olur.
Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduguna göre
g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ?dir de diyebilirdik.
f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotlari t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarinin periyotlari OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpim veya bölümlerinin periyotlari ise bu fonksiyonlari toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.


Örnek 32 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,
g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise
h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 oldugundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.


9. Trigonometrik fonksiyonlardan
sin x ve cos x fonksiyonlarinin periyotlari 2? ;
tanx ve cotx fonksiyonlarinin periyotlari ise ? ?dir.
Örnek 33 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu     ve
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu oldugundan
f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK?i olan ? ? dir.


Örnek 34 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : Ters dönüsüm formullerinden yararlanarak     buluruz.
Dolayisiyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacagindan ;
sin 8x fonksiyonunun periyodu ve
sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK (      olur.


Örnek 35 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x oldugundan
         olur.
Bu nedenle     olur.
f(x) fonksiyonu da      
olacagindan periyodu da              bulunur.
Sinkax ve coskax fonksiyonlarinin periyotlari k sayisi çift ise     ,
k sayisi tek ise     ;
tankax ve cotkax fonksiyonlarinin periyotlari
k sayisi ne olursa olsun ?dir.
Buna göre ayni soru k =2 oldugundan bu bilgileri kullanarak ? dir de diyebiliriz .


FONKSIYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ :
f (x) ve g (x) fonksiyonlari için
h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpim fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
birincisi h (x) fonksiyonunun tanim kümesi
f ve g fonksiyonlarinin tanim kümelerinin kesisim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanimlanan islemler fonksiyonlarin görüntü kümeleri üzerinde yapilacaktir.
Örnek 36 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanim kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanim kümesi B = {-1,2,3,4} olduguna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanim ve deger kümelerini bulunuz.
Çözüm : Tanim kümesi = A ? B = {-1,2,3} olur.
h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 oldugundan
h (-1) = -3
h ( 2) = 12
h (3) = 17 olur ve deger kümesi de G = {-3,12,17} seklinde bulunur.


Örnek 37 : f : A ? B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve
g : C ? D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduguna göre
h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun deger kümesini bulunuz .
Çözüm : Fonksiyonlar incelendiginde esit fonksiyon olduklari görülmektedir. Dolayisi ile h (x) = 5f (x) diye düsünülebilir.
h (1) = 5f (1) = 10 ;
h (2) = 5f (2) = 15 ;
h (3) = 5f (3) = 20 oldugundan deger kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.